»»iH^hr^/:i:ii: ; \c. CORNELL UNIVERSITY LIBRARY WiLLARD FiSKE Endowment Cornell University Library arY16 Calculating tables giving the products o 3 1924 032 190 476 olin,anx The original of this book is in the Cornell University Library. There are no known copyright restrictions in the United States on the use of the text. http://www.archive.org/details/cu31924032190476 DR. A. L. CRELLE'S CALCULATING TABLES GIVING THE PRODUCTS OF EVERY TWO NUMBERS FROM ONE TO ONE THOUSAND AND THEIR APPLICATION TO THE MULTIPLICATION AND DIVISION OF ALL NUMBERS ABOVE ONE THOUSAND REVISED BY DR. C. BREMIKER FIRST ENGLISH EDITION LONDON: DAVID NUTT, 270-271, STKAND BEELIN: G. EEIMEE 1897 vy2> DIRECTIONS FOR USIN^G THE TABLES These tables contain the product of every two numbers from I to 1000. They thus form an extended multiplication table of all numbers up to 1000, just as the ordinary table gives those of the simple numbers. The use of the tables is as follows : When in multiplication the factors, and in division the divisor and the quotient, are each below 1000, these tables save all calculation* for they give at sight the products of these numbers. They also simplify calculation with numbers above 1000, in proportion to the number of figures that can be taken together. For example, to find the product of two numbers of six figures each with the ordinary multiplication table, it is necessary to add together the products of each figure of the multiplicand with each figure of the multiplier, in all 36 products, whereas with these tables, by taking each number of 6 figures in two sets of 3, and treating each set as a simple number, only 4 products are needed, thus reducing the number of products to be added together to one-ninth. In division, also, there is the same saving of labour. It is of course unnecessary to use these tables for the products of simple numbers which are learnt by heart in the ordinary multiplication table, but in all higher calcu- lations, the looking-up of products must be regarded as a very trifling matter compared with the labour of ordinary processes ; and then these tables save labour. Logarithms, so much used in the multiplication and division of high numbers, involve the same looking-up in tables, but they cannot be used for all numbers whatever, but only for those of 6, or at most of 8 figures, and even then the results are only approximate, and not exact as with our tables. In cases where there is need of various products of two factors, as for instance in the calculation of areas of plane geometrical figures by means of triangles, which often iv DIEEOTIONS FOR USING THE TABLES occurs in land-measuring and in the Ordnance Survey and Inland Revenue Offices, these extended tables save a great amount of labour. They can also be used to advantage instead of logarithms, in many other mathematical calculations. It is for instance often necessary to transform formulae in order to adapt them to logarithmic computation. Now sometimes these transformations are not practicable or at least not easy, as in polygonometric formulae, and then, as a consequence, logarithms cannot be used. Now by making multiplication and division easier these transformations become unnecessary, the formulae can be used just as they are, and calculation is simplified. In ordinary life in every case of high numbers our tables diminish labour. A second advantage, as great as, if not greater than, that of economy of labour, is the assured accuracy afforded by these tables. The chances of error in a computation certainly diminish in proportion to the number of operations involved in the result. For example, if in the aforesaid multiplication of 2 numbers of 6 figures each, the addition is required of only 4 products found in the tables, the possibility of making a mistake is obviously 9 times less than when for the same calculation 36 products are necessary, worked mentally before putting on paper. The conviction that one is calculating more surely — a conviction that logarithmic computation does not give — is of undoubted importance. Any one who has had to calculate with high numbers knoAvs how unsatisfactory it is, not to be certain at every step that the work is right. These tables increase this certainty, and in this respect possess an advantage over methods which in certain cases may be easier to work, though in their nature they are more complicated. The arrangement of the tables is as follows : Each page contains 2000 products, namely of the 2 numbers in large type at the top with all numbers from 1 to 1000. Of the 2 factors, one is the number in large figures at the top of the page ; of the other factor, the hundreds are on the same horizontal line as the first factor, and the tens and the units in the same vertical column. By the side of this column, which contains all numbers from 1 to 100, are the products of these numbers and the number at the top of the page ; in the next column are the products of these same numbers increased by 100. In the same manner each succeeding column represents an increase of 100, so that the last column but one contains the products of the number at the top of the page and the numbers of the first column increased by 900. It is necessary to remark that the last two figures of the columns above which are 100, 200, &c., to 900, have been omitted a.nd placed apart in the last column, since they are the same for all products given on the same line. Thus, to obtain the product of 439 by 382, find the page at the top of which is the number 439, or that of the number 382. In the former case look in the top line for 300, DIRECTIONS FOR USING THE TABLES v and in the first column to the left for 82 ; on this line where it crosses the column of 300 is the number 1676, which prefixed to the 98 in the last column gives 167,698, the product sought. If 382 is chosen as the first factor, open the page which has 382 on the top line, then at the intersection of the 400 column and the 39 line is the same number 1676, which followed by 98 gives 167,698, as in the former case. Thus these tables give twice over the products of all numbers below 1000, and they therefore might have been reduced to nearly one-half, but this reduction, as will be shown in examples further on, would have caused much inconvenience. The following examples will further illustrate the use of the tables : (1) To multiply 732 by 957. Open the table 732, and find as shown above the product of 732 by 957 ; or open the table 957, and find the product of 957 by 732 ; both give the desired result without further calculation. (2) To divide 139,156 by 458, open 458 and find the nearest multiple below 139,156; it is that of 303, namely, 138,774, which is less than the dividend given by 382 ; con- sequently 303 is the quotient, and 382 the remainder. (3) To multiply 26,457,081 by 247,183. Divide these numbers from right to left into sets of 3 figures each — it is indifferent which factor is taken as multiplier — take the latter. Then open table number 247, and find the respective products of 247 by 81, 457, and 26, namely, 20,007, 112,879, and 6422. Write these numbers under one another, moving each successive product three places to the left. Then open table number 183 and find the products of 183 by 81, 457, and 26, namely, 14,823, 83,631, and 4758, which write three places further i to the right. Add the products as in the following example : 26,457,081 247,183 20,007 112,879 . 14,823 6,422 . 88,631 4,758 6,539,740,652,823 The work can be easily tested by changing the factors. (4) To divide 40,875,921,980,531 by 507,461. Open table 507, find the product nearest to the first 6 figures of the dividend, namely 408,642, the other factor of which ■806 gives the first three figures of the quotient. Subtract 408,642 from the first 6 figures of the dividend, then also the product of 461 by 806 found in table 461, placing it three places further to the right. If the last subtraction cannot be made, the quotient is too great by 1, and 805 must be substituted. A little practice will save even this trial. Find vi DIRECTIONS FOR USING THE TABLES in the same manner the rest of the quotient three figures at a time. The above is set out as follows : 607,461)40875921980531(805,498,78 Quotient 408135 624219 371105 253114 252486 628805 229578 39922731 39546 376731 35958 340773 Remainder The facility of this method is particularly seen in decimal fractions. We see here why, as mentioned above, the products of dissimilar factors had to be given twice over, and why the tables were not reduced to the half These reduced tables would have given products only from 1 to the constant factor, and from the constant factor to 1000. The unreduced tables obviate this inconvenience. Take as an illustration the example of paragraph 3. Here the table 247 once opened gives the products of the 3 sets 26, 457 and 81 of the multiplicand by the multiplier 247 ; in reduced tables it would be necessary to open as well tables 26 and 81. Also in the division of 243,648 by 576, the dividend would not be found in table 576, since the other factor is smaller than 576, and therefore search in other tables would be necessary, since the other factor, the quotient, is not yet known. (5) To extract the square root of 35104,993961,032008. Divide this number from right to left into sets of 6 figures each. You have then only to take the squax'e root of the first set, 35,104, and extract by the ordinary method unless you have at hand a table of squares ; you will get 187. The rest of the work is simple division or multiplication. If, for example, from the first set you subtract the square of 187, namely 34,969, given in the tables, 135 will remain ; add to this remainder the first three figures of the second set, which gives the numl^er 135,993, then divide this number by twice the first three figures of the root, namely 374, but so, however, that read together with the remaining figures of the second set, it may be greater than the square of the quotient, plus the product of the same by the divisor given above ; the quotient is 363. Then subtract from the remainder suffixed by the three other figures of the second set, that is to say from 135,998,961, the square of this quotient and its product with twice the first part of DIRECTIONS FOR USING THE TABLES vii the root. Proceed in the same maimer, observing that at each stage of the work the root receives an increment of three figures. The root can be carried as far as required, as shown in the example here below : 35104,993961,032008(187,363,267 Square of 187 34969 Root 2 X 187 = 374 135,993961 Square of 363 = 131769 ^ 374 X 363 = 135,762 ( Total 135,893769 Remainder 100192,032008 2 X 187,363 = 374,726 Square of 267 = 71289 267 X 374,726 = 193,842 99858 Total 10051,913,289 Remainder 140,118,719 In the same manner higher roots can be extracted. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 02 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 04 3 2 4 6 8 10 12 14 16 18 06 4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 08 5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 10 6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 12 7 2 4 6 8 10 12 14 16 18 14 8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 16 a 2 4 6 8 10 12 14 16 18 18 11 2 4 6 8 10 12 14 16 18 22 12 2 4 6 8 10 12 14 16 18 24 13 2 4 6 8 10 12 14 16 18 26 14 2 4 6 8 10 12 14 16 18 28 15 2 4 6 8 10 12 14 16 18 30 16 2 4 6 8 10 12 14 16 18 32 17 2 4 6 8 10 12 14 16 18 34 18 2 4 6 8 10 12 14 16 18 36 19 2 4 6 8 10 12 14 16 18 38 21 2 4 6 8 10 12 14 16 18 42 22 2 4 6 8 10 12 14 16 18 44 23 2 4 6 8 10 12 14 16 18 46 24 2 4 6 8 10 12 14 16 18 48 25 2 4 6 8 10 12 14 16 18 50 26 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 27 2 4 6 8 10 12 14 16 18 54 28 2 4 6 8 10 12 14 16 18 56 29 2 4 6 8 10 12 14 16 18 58 31 2 4 6 8 10 12 14 16 18 62 32 2 4 6 8 10 12 14 16 18 64 33 2 4 6 8 10 12 14 16 18 66 84 2 4 6 8 10 12 14 16 18 68 35 2 4 6 8 10 12 14 16 18 70 36 2 4 6 8 10 12 14 16 18 72 37 2 4 6 8 10 12 14 16 18 74 38 2 4 6 8 10 12 14 16 18 76 39 2 4 6 8 10 12 14 16 18 78 41 2 4 6 8 10 12 14 16 18 82 42 2 4 6 8 10 12 14 16 18 84 43 2 4 6 8 10 12 14 16 18 86 44 2 4 6 8 10 12 14 16 18 88 45 2 4 6 8 10 12 14 16 18 90 46 2 4 6 8 10 12 14 16 18 92 47 2 4 6 8 10 12 14 16 18 94 48 2 4 6 8 10 12 14 16 18 96 49 2 4 6 8 10 12 14 16 18 98 51 3 5 7 9 11 13 15 17 19 02 52 3 5 7 9 11 13 15 17 19 04 53 3 5 7 9 11 13 15 17 19 06 54 3 5 7 9 11 13 15 17 19 08 55 3 5 7 9 11 13 15 17 19 10 56 3 5 7 9 11 13 15 17 19 12 57 3 5 7 9 11 13 15 17 19 14 58 3 5 7 9 11 13 15 17 19 16 59 3 5 7 9 11 13 15 17 19 18 61 3 5 7 9 11 13 15 17 19 22 62 3 5 7 9 11 13 15 17 19 24 63 3 5 7 9 11 13 15 17 19 26 64 3 5 7 9 11 13 15 17 19 28 65 3 5 7 9 11 13 15 17 19 30 66 3 5 7 9 11 13 15 17 19 32 67 3 5 7 9 11 13 15 17 19 34 68 3 5 7 9 11 13 15 17 19 36 69 3 5 7 9 11 13 15 17 19 38 71 3 5 7 9 11 13 15 17 19 42 72 3 5 7 9 11 13 15 17 19 44 73 3 5 7 9 11 13 15 17 19 46 74 3 5 7 9 11 13 15 17 19 48 75 3 5 7 9 11 13 15 17 19 50 76 3 5 7 9 11 13 15 17 19 52 77 3 5 7 9 11 13 15 17 19 54 78 3 5 7 9 11 13 15 17 19 56 79 3 5 7 9 11 13 15 17 19 58 81 3 5 7 9 11 13 15 17 19 62 82 3 5 7 9 11 13 15 17 19 64 83 3 5 7 9 11 13 15 17 19 66 84 3 5 7 9 11 13 15 17 19 68 85 3 5 7 9 11 13 15 17 19 70 86 3 5 7 9 11 13 15 17 19 72 87 3 5 7 9 11 13 15 17 19 74 88 3 5 7 9 11 13 15 17 19 76 89 3 5 7 9 11 13 15 17 19 78 91 3 5 7 9 11 13 15 17 19 82 92 3 5 7 9 11 13 15 17 19 84 93 3 5 7 9 11 13 15 17 19 86 94 3 5 7 9 11 13 15 17 19 88 95 I 3 5 7 9 11 13 15 17 19 90 96 I 3 5 7 9 11 13 15 17 19 92 97 3 5 7 9 11 13 15 17 19 94 98 I 3 5 7 9 11 13 15 17 19 96 99 3 5 7 9 11 13 15 17 19 98 1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 03 2 3 6 9 12 15 18 21 24 27 06 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 09 4 3 6 9 12 15 18 21 24 27 12 5 3 6 9 12 15 18 21 24 27 15 6 3 6 9 12 15 18 21 24 27 18 7 3 6 9 12 15 18 21 24 27 21 8 3 6 9 12 15 18 21 24 27 24 9 3 6 9 12 15 18 21 24 27 27 11 3 6 9 12 15 18 21 24 27 33 12 3 6 9 12 15 18 21 24 27 36 13 3 6 9 12 15 18 21 24 27 39 14 3 6 9 12 15 18 21 24 27 42 15 3 6 9 12 15 18 21 24 27 45 16 3 6 9 12 15 18 21 24 27 48 17 3 6 9 12 15 18 21 24 27 51 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 54 19 ^ 6 9 12 15 18 21 24 27 57 21" 3 6 9 12 15 18 21 24 27 63 22 3 6 9 12 15 18 21 24 27 66 23 3 6 9 12 15 18 21 24 27 69 24 3 6 9 12 15 18 21 24 27 72 25 3 6 9 12 15 18 21 24 27 75 26 3 6 9 12 15 18 21 24 27 78 27 3 6 9 12 15 18 21 24 27 81 28 3 6 9 12 15 18 21 24 27 84 29 3 6 9 12 15 18 21 24 27 87 31 3 6 9 12 15 18 21 24 27 93 32 3 6 9 12 15 18 21 24 27 96 33 3 6 9 12 15 18 21 24 27 99 34 4 7 10 13 16 19 22 25 28 02 35 4 7 10 13 16 19 22 25 28 05 36 4 7 10 13 16 19 22 25 28 08 37 4 7 10 13 16 19 22 25 28 11 38 4 7 10 13 16 19 22 25 28 14 39 4 7 10 13 16 19 22 25 28 17 41 4 7 10 13 16 19 22 25 28 23 42 4 7 10 13 16 19 22 25 28 26 43 4 7 10 13 16 19 22 25 28 29 44 4 7 10 13 16 19 22 25 28 32 45 4 7 10 13 16 19 22 25 28 35 46 4 7 10 13 16 19 22 25 28 38 47 4 7 10 13 16 19 22 25 28 41 48 4 7 10 13 16 19 22 25 28 44 49 4 7 10 13 16 19 22 25 28 47 51 4 7 10 13 16 19 22 25 28 53 52 4 7 10 13 16 19 22 25 28 56 53 4 7 10 13 16 19 22 25 28 59 54 4 7 10 13 16 19 22 25 28 62 55 4 7 10 13 16 19 22 25 28 65 56 4 7 10 13 16 19 22 25 28 68 57 4 7 10 13 16 19 22 25 28 71 58 4 7 10 13 16 19 22 25 28 74 59 4 7 10 13 16 19 22 25 28 77 61 4 7 10 13 16 19 22 25 28 83 62 4 7 10 13 16 19 22 25 28 86 63 4 7 10 13 16 19 22 25 28 89 64 4 7 10 13 16 19 22 25 28 92 65 4 7 10 13 16 19 22 25 28 95 66 4 7 10 13 16 19 22 25 28 98 67 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 01 68 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 04 69 2 5 8 11 14 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